一、最大公因数和最小公倍数

1、公因数和最大公因数

a、几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数(公约数)。

b、几个数的公因数的个数是有限的,几个数的公因数中最大的一个公因数,叫做这几个数的最大公因数。

2、互质数和互质

a、公因数只有1的两个数叫作互质数,也叫互素数。

例如:8和15的公因数只有1,所以8和15是互素数。

b、当两个或两个以上的数是互质数时,我们就说它们互质。

例如:12和13的公因数只有1,所以12和13是互质数,也可以说12和13这两个数互质。

c、两上数互质通常有以下几种情况:

①1和任何自然数互质;

②相邻的两个自然数互质;

例如:15与16

③两个不同的质数互质;

例如:2与7,13与19

④当合数不是质数的整倍数时,合数与质数互质;

例如:16与7

⑤两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质。

例如:4与9

⑥相邻的两个奇数是互质数。

例如:49与51

⑦两个相差4的奇数是互质数。

例如:49与53

⑧大数是质数的两个数是互质数。

例如:97与44

⑨小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

例如:16和6

3、求最大公因数的一般方法

a、枚举法

例如:求18和30的最大公因数

18的因数有:1,2,3,6,9,18

30的因数有:1,2,3,5,6,10,15,30

18与30的公因数有:1,2,3,6,最大公因数是6。

b、分解质因数法

几个自然数的最大公因数,必须包含这几个自然数全部公有的质因数,因此可先把各个数分解质因数,再把这几个自然数全部公有的质因数选出并连乘起来,所得的积就是要求的最大公因数。

例如:求98和150的最大公因数

98=2×7×7;150=2×3×5×5;98和150只含有质因数2,所以它们的最大公因数是2。

例如:求18和24的最大公因数

18=2×3×3;24=2×2×2×3,18和24都含有质因数2和3,所以它们的最大公因数是2×3=6。

c、短除法

一般先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这几个数,把除得的商写在该数的下方,一直除到各个商只有公因数1为止,然后把所有除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公因数。

4、求最大公因数的特殊方法

a、如果两个数互质,则它们的最大公因数是1。

b、如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。

c、如果两个数具有公共质因数,那么,它们公共质因数的乘积就是它们的最大公因数。

5、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。几个数的公倍数是无限的,其中最小的一个叫途几个数的最小公倍数。

例如:求8和12的公倍数

8的倍数:8,16,24,32,40,48,56,64,72...

12的倍数:12,24,36,48,60,72...

所以8和12的公倍数有24,48,72...

其中24是12和8的最小公倍数。

6、求最小公倍数的一般方法

a、枚举法

例如:求18和30的最小公倍数

分别把18和30的倍数从小到大依次枚举出来,从中找到相同且最小的。

18的倍数有:18,36,54,72,90...

30的倍数有:30,60,90...

18和和30的最小公倍数是90。

b、分解质因数法

先把每个数分解质因数,再把这两个数公有的一切质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来,所得的积就是它们的最小公倍数。

例如:求18和24的最小公倍数,先把18和24分解质因数:

18=2×3×3,24=2×2×2×3

18和24公有的质因数有2与3;18独有的质因数是3;24独有的质因数有2与2;所有18和24的最小公倍数是(2×3)×(3×2×2)=72

c、短除法

把几个数公有的质因数从小到大排列后,依次作为除数,用短除法连续去除这几个数,在连除时,如果某一个数不能被除数整除,就把这个数写在下边。直到得出的商两两互质为止,然后把所有的除数和商乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数。

7、求最小公倍数的特殊方法

a、如果两个数是互质数,则它们的最小公倍数是这两个数的乘积。

b、如果两个数中较大的数是较小数的倍数(或较小数是较大数的因数),则较大数是它们的最小公倍数。

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